Quem é maior?

Os números $\pi$ e $e$ são irracionais, mas como saber qual dos dois é 
maior? Não é uma tarefa fácil, pois não temos noção do que é elevar um número irracional à outro número irracional.

Então como podemos resolver esse impasse?

Basta utilizar uma função adequada, nesse caso consideramos a função $${\large f(x)=e^{\frac{x}{e}}-x}$$

Derivando uma vez essa função, temos:
$${\large f'(x)=\dfrac{e^{\frac{x}{e}}}{e}-1}$$

Para encontrarmos os pontos críticos dessa função, igualamos $f'(x)$ à zero, assim:
$${\large f'(x)=0\Rightarrow e^\frac{x}{e}=e}$$
$$\frac{x}{e}=1\Rightarrow x=e$$

Assim, $x=e$ é o único ponto crítico de $f(x)$.

Como ${\large f''(x)=\dfrac{e^\frac{x}{e}}{e^2}}$ e $f''(e)=\dfrac{1}{e}>0$, temos que $x=e$ é um ponto de mínimo de $f$, na verdade para qualquer $x\neq e$, onde $x\in\mathbb{R}$, temos $f(x)>f(e)$.

Como $f(e)=0$, temos que $f(x)>0,\forall x\in\mathbb{R}$.

Fazendo $x=\pi$ na função obtemos:
$${\large f(\pi)=e^{\frac{\pi}{e}}-\pi}$$
Mas $f(\pi)>0$, logo:
$${\large e^{\frac{\pi}{e}}>\pi}$$
Elevando à $e$ em ambos os lados da inequação, temos:
$$e^{\pi}>\pi^{e}$$

Assim podemos concluir que $e^{\pi}$ é maior que $\pi^{e}$!

Até a próxima postagem!