A infinitude dos primos (parte 2 - Goldbach, Hurwitz)

Olá pessoal, na segunda postagem sobre a infinitude dos primos, trazemos aqui três matemáticos que estão, de certa maneira ligados, por demonstrarem este famoso Teorema seguindo a mesma linha de raciocínio. A prova dada por Goldbach foi encontrada em uma carta, destinada a Euler, datada de 20 de julho de 1730 e é reconhecida como a primeira prova da infinitude dos primos que é essencialmente diferente da prova dada por Euclides. Mais tarde, em 1892, Hurwitz, de maneira independente, provou em um exercício utilizando o mesmo raciocínio que Goldbach tivera. A prova de Hurwitz, obviamente não foi publicada, mas encontra-se preservada em uma de suas listas de exercícios no Instituto Federal de Tecnologia de Zurique (Eidgenössische Technische Hochschule Zürich). A prova é segue da seguinte maneira:

$Teorema:$ Existem infinitos números primos.

Dados dois números primos entre si, qualquer primo que divida um deles, certamente não dividirá o outro. Assim, basta construir uma lista infinita de números que são dois a dois primos entre si. Uma lista que satisfaz essa propriedade pode ser obtida pelos números de Fermat dados, para $n\geq 0$, por $$F_n=2^{2^{n}}+1 $$

De fato, se $F_m$ é um número de Fermat, vale a seguinte propriedade $F_m-2=F_0F_1\ldots F_{m-1} $. Propriedade essa que é fácil de ser provada por indução, pois se supusermos que vale $F_{k-1}-2=F_0F_1\ldots F_{k-2}$ então teremos

 $$F_k-2=2^{2^{k}}-1=(2^{2^{k-1}})^2 - 1^2 =(2^{2^{k-1}}-1)(2^{2^{k-1}}+1)=(F_{k-1}-2)F_{k-1}=F_0F_1 \ldots F_{k-1}F_k.$$

Visto isso, temos, para $n<m$, que se um número primo $p$ pudesse dividir $F_m$ e $F_n$ ele dividiria $F_m-F_0 \ldots F_{m-1}=2$, daí seria $p=2$ o que é impossível, já que todo número de Fermat é ímpar. Isto demonstra que $F_m$ e $F_n$ são primos entre si, o que conclui a prova do teorema.