A infinitude dos primos (parte 1 - Euclides)

É muito bem sabido que existe uma quantidade infinita de números primos, mas certa vez um aluno desavisado, quando ouviu esta informação respondeu da seguinte maneira: mas isto é óbvio, pois existe uma quantidade infinita de números no total e todos eles são formados por produtos de potências de números primos. Observe que isto não é uma justificativa adequada para a infinidade dos primos, pois para qualquer um desses números existe uma quantidade infinita de suas potências. Qual seria a prova desse teorema então?

Bom, a primeira prova para esse teorema foi apresentada por Euclides de Alexandria em seu famigerado livro Os Elementos, e não só por isso, mas pela forma simplificada em que ela se apresenta, esta será a primeira das demonstrações que escreveremos neste blog. Antes disso, falaremos um pouco mais sobre Euclides.

Euclides ( ou Εὐκλείδης, que significa boa glória em grego antigo), ao que algumas pesquisas indicam, nasceu por volta de 360 a.c. na Síria e foi educado na Academia de Platão em Atenas. Alguns anos mais tarde, recebeu o convite do rei Ptolomeu I para fazer parte da recém fundada academia de Alexandria como professor e foi pela forma excepcional com que Euclides ensinava Álgebra e Geometria que ele se destacou conseguindo arraigar uma grande quantidade de discípulos para suas palestras públicas. 

Além d'Os Elementos, intitulado em grego antigo como Στοιχεῖα , o Pai da Geometria, como Euclides ficou conhecido,  também escreveu diversas obras como O Dado, A Divisão, Os Fenômenos, Óptica e  Data, muitas delas, infelizmente, foram perdidas como é caso do livro Porismos. Dentre todas as suas obras, no entanto, a que teve mais destaque e influência em sua área de estudo foi Os Elementos, que é sem dúvida alguma um dos livros mais bonitos que a humanidade já produziu, constituindo assim um capítulo à parte na história de Euclides. Esta obra, de fato, é uma das mais influentes na história da matemática, servindo como principal livro texto para o ensino desta ciência por mais de dois milênios. Na atualidade o texto original encontra-se guardado no Vaticano.

Estima-se que Euclides tenha morrido por volta do ano 295 a.c., muito embora, as datas e os locais de seu nascimento e morte sejam totalmente desconhecidas e calculadas a partir de personagens contemporâneos conhecidos. Não há também nenhum retrato ou descrição de Euclides catalogada, sendo suas imagens apenas fruto de imaginação artística.

Bom, agora vamos a sua demonstração para o título deste post.

Tomemos uma lista finita de números primos $p_1, p_2, \ldots, p_n$ e formemos o número $$s=p_1.p_2. \cdots .p_n + 1$$ Se $s$ for primo, certamente ele será diferente dos que já forma listados. Caso $s$ não seja primo poderemos encontrar um número primo $q$ que divida $s$. O número $q$ não pode ser nenhum dos que já foram listados inicialmente, pois caso contrário ele dividiria o produto $p_1.p_2 \ldots p_n$ e assim, também dividiria a diferença $s-p_1.p_2 \ldots p_n$ o que é impossível, já esta diferença é igual a 1. Ou seja, dada qualquer lista finita de primos, sempre existirá um novo número primo que não foi listado.

Abaixo, como uma forma de homenagem, segue uma transcrição da tradução em português dessa demonstração contida no livro IX d'Os Elementos (tradução essa feita por Irineu Bicudo, é bom que se diga antes que alguém aqui pense que eu sei ler ao menos uma palavra em grego antigo)

$Teorema:$ Os números primos são mais numerosos do que toda quantidade que tenha sido proposta de números primos.

Sejam os números primos que tenham sido propostos A, B, C; digo que os números são mais numerosos que os A, B, C.
Fique, pois, tomado o menor medido por A, B, C e seja o DE, e fique acrescida a unidade DF ao DE. Então, o EF ou é primo ou não. Primeiramente, seja primo; portanto, os números A, B, C, EF achados são mais numerosos do que os A, B, C.
Mas, então, não seja primo o EF; portanto, é medido por algum número primo. Seja medido pelo primo G; digo que o G não é o mesmo que algum dos A, B, C. Pois, se possível, seja. Mas os A, B, C medem DE; portanto, o G também medirá o DE. E também mede o EF; e o G, sendo um número, medirá a unidade DF restante; o que é absurdo. Portanto, o G não é o mesmo que algum dos A, B, C. E  foi suposto primo. Portanto, os números primos achados, A, B, C, G são mais numerosos do que a quantidade que tenha sido proposta dos A, B, C; o que era preciso provar.